partiels/S1_0905/partiel_Mathsdis_S1_juin 2009.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
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  20 \usepackage{pst-all}
  21
  22 \title{
  23 Partiel de mathématiques discrètes, semestre 1, juin 2009.\\
  24 Durée : 3 heures.}
  25 \date{}
  26 \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
  27 \author{\sc{Couchot}, J.-F.}
  28 \begin{document}
  29 \maketitle
  30
  31
  32
  33 Les supports  de TDs et de TP sont autorisés; téléphones et calculatrices sont
  34 interdits.
  35
  36 Q. 1. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
  37 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  38
  39 Q. 2. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  40
  41 Q. 3. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
  42 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  43
  44 Q. 4. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
  45 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  46
  47 Q. 5. $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow $ \og $x$ et $y$ ont le même reste dans une division par 2 \fg{} est une relation d'équivalence sur les entiers strictement positifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  48
  49 Q. 6. $|$ (divisibilité) est une relation d'ordre totale dans $\mathds{N}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  50
  51 Q. 7. $(\mathds{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné.
  52 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  53
  54 Q. 8. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  55
  56 Q. 9. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.
  57
  58 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  59
  60 Q. 10. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  61
  62 Q. 11. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique quand tout élément est en relation avec lui-même.
  63 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  64
  65 Q. 12. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  66
  67 Q. 13. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$.
  68 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  69
  70 Q. 14. $|$ est une relation d'ordre dans $\mathds{Z}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  71
  72 Q. 15. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$.
  73 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  74
  75 Q. 16. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'ordre sur l'ensemble des réels.
  76 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  77
  78 Q. 17. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle majorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$.
  79 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  80
  81 Q. 18. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
  82 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  83
  84 Q. 19. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective.
  85 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  86
  87 Q. 20. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$.
  88 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  89
  90 Q. 21. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
  91 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  92
  93 Q. 22. Un ordre est dit total sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
  94 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  95
  96 Q. 23. Une application est une relation binaire particulière.
  97 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
  98
  99 Q. 24. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe une borne supérieure pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 100
 101 Q. 25. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 102
 103 Q. 26. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné. Il peut exister des parties de $E$ qui sont non majorées.
 104 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 105
 106 Q. 27. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$$L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 107
 108 Q. 28. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'equivalence sur l'ensemble des réels. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 109
 110 Q. 29. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
 111 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 112
 113 Q. 30. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$.
 114 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 115
 116 Q. 31. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 117
 118 Q. 32. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 119
 120 Q. 33. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $E$ possède exactement une image dans $F$.
 121 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 122
 123 Q. 34. $\leqslant$ est une relation d'ordre total dans $\mathds{R}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 124
 125 Q. 35. Les relations d'ordre sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
 126 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 127
 128 Q. 36. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
 129 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 130
 131 Q. 37. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
 132 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 133
 134 Q. 38. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 135
 136 Q. 39. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe un minorant pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 137
 138 Q. 40.
 139 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
 140 $g:B \rightarrow C$ et
 141 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant
 142
 143 \begin{center}
 144 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
 145 \scalebox{1}{
 146 \cnodeput*(0,4){a}{a}
 147 \cnodeput*(0,3){b}{b}
 148 \cnodeput*(0,2){c}{c}
 149 \cnodeput*(2,4){1}{1}
 150 \cnodeput*(2,3){2}{2}
 151 \cnodeput*(2,2){3}{3}
 152 \cnodeput*(4,4){x}{x}
 153 \cnodeput*(4,3){y}{y}
 154 \cnodeput*(4,2){z}{z}
 155 \cnodeput*(4,1){w}{w}
 156 \cnodeput*(6,4){4}{4}
 157 \cnodeput*(6,3){5}{5}
 158 \cnodeput*(6,2){6}{6}
 159
 160 \rput(-0.2,5.2){$A$}
 161 \rput(1.8,5.2){$B$}
 162 \rput(3.8,5.2){$C$}
 163 \rput(5.8,5.2){$D$}
 164
 165 \rput(1,0.5){$f$}
 166 \rput(3,0.5){$g$}
 167 \rput(5,0.5){$h$}
 168
 169
 170 \psellipse(0,3)(0.5,2)
 171 \psellipse(2,3)(0.5,2)
 172 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
 173 \psellipse(6,3)(0.5,2)
 174
 175 \ncline{->}{a}{2}
 176 \ncline{->}{b}{1}
 177 \ncline{->}{c}{2}
 178 \ncline{->}{2}{x}
 179 \ncline{->}{1}{y}
 180 \ncline{->}{3}{w}
 181 \ncline{->}{x}{4}
 182 \ncline{->}{z}{4}
 183 \ncline{->}{y}{6}
 184 \ncline{->}{w}{5}
 185    }
 186  \endpspicture
 187 \end{center}
 188
 189 $h \circ g$ est-elle surjective?
 190
 191 Q. 41. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$.
 192 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 193
 194 Q. 42. $(\mathcal{P}(E),\subset)$ est un ensemble ordonné.
 195 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 196
 197 Q. 43. $(\mathds{Z},|)$ est un ensemble ordonné.
 198 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 199
 200 Q. 44. Soit $R$ la relation dans $A=\{1,2,3,4\}$ définie par
 201 $R=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$.
 202 A-t-on  $R\circ
 203 R = \{(1,3)\times(1,3), (1,3)\times(1,4),(1,3)\times(3,2),
 204 \ldots,(3,3)\times(3,4),(3,4)\times(3,4)\}$?
 205
 206
 207 Q. 45. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
 208 dans le diagramme cartésien:
 209 \begin{center}
 210 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
 211 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
 212 %\psgrid
 213 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
 214 \savedata{\mydata}[
 215 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
 216 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
 217 \end{pspicture}
 218 \end{center}
 219
 220 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il
 221 $\{1,2,4,5\}$?
 222
 223
 224 Q. 46. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 225
 226 Q. 47. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 227
 228 Q. 48. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 229
 230 Q. 49. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minimum de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 231
 232 Q. 50. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$$L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 233
 234 Q. 51. Une partie $A$ peut être non majorée, mais admettre quand même un élément maximum.
 235 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 236
 237 Q. 52. Un ordre est dit partiel sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
 238 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 239
 240 Q. 53. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 241
 242 Q. 54. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au plus une image. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 243
 244 Q. 55. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 245
 246 Q. 56. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
 247 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 248
 249 Q. 57. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 250
 251 Q. 58.
 252 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
 253 $:g:B \rightarrow C$ et
 254 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant
 255
 256 \begin{center}
 257 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
 258 \scalebox{1}{
 259 \cnodeput*(0,4){a}{a}
 260 \cnodeput*(0,3){b}{b}
 261 \cnodeput*(0,2){c}{c}
 262 \cnodeput*(2,4){1}{1}
 263 \cnodeput*(2,3){2}{2}
 264 \cnodeput*(2,2){3}{3}
 265 \cnodeput*(4,4){x}{x}
 266 \cnodeput*(4,3){y}{y}
 267 \cnodeput*(4,2){z}{z}
 268 \cnodeput*(4,1){w}{w}
 269 \cnodeput*(6,4){4}{4}
 270 \cnodeput*(6,3){5}{5}
 271 \cnodeput*(6,2){6}{6}
 272
 273 \rput(-0.2,5.2){$A$}
 274 \rput(1.8,5.2){$B$}
 275 \rput(3.8,5.2){$C$}
 276 \rput(5.8,5.2){$D$}
 277
 278 \rput(1,0.5){$f$}
 279 \rput(3,0.5){$g$}
 280 \rput(5,0.5){$h$}
 281
 282
 283 \psellipse(0,3)(0.5,2)
 284 \psellipse(2,3)(0.5,2)
 285 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
 286 \psellipse(6,3)(0.5,2)
 287
 288 \ncline{->}{a}{2}
 289 \ncline{->}{b}{1}
 290 \ncline{->}{c}{2}
 291 \ncline{->}{2}{x}
 292 \ncline{->}{1}{y}
 293 \ncline{->}{3}{w}
 294 \ncline{->}{x}{4}
 295 \ncline{->}{z}{4}
 296 \ncline{->}{y}{6}
 297 \ncline{->}{w}{5}
 298    }
 299  \endpspicture
 300 \end{center}
 301
 302 On ne peut pas déduire du schéma des propriétés de $h \circ h$.
 303
 304 Q. 59.
 305 Dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$, on considère l'expression
 306 $E=\overline{a}(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$. La version la plus réduite de $E$ est $\overline{a}bcde$.
 307  L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 308
 309 Q. 60. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
 310 dans le diagramme cartésien:
 311 \begin{center}
 312 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
 313 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
 314 %\psgrid
 315 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
 316 \savedata{\mydata}[
 317 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
 318 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
 319 \end{pspicture}
 320 \end{center}
 321
 322 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il $\{1,2,3,4,5\}$?
 323
 324
 325 Q. 61. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 326
 327 Q. 62. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive quand tout élément est en relation avec lui-même.
 328 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 329
 330 Q. 63. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 331
 332 Q. 64. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.
 333 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 334
 335 Q. 65. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence.
 336 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 337
 338 Q. 66. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive.
 339 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 340
 341 Q. 67. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive quand tout élément est en relation avec lui-même. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 342
 343 Q. 68.
 344 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$.
 345 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
 346
 347 \begin{center}
 348 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
 349 \scalebox{1}{
 350 \cnodeput*(0,6){1}{1}
 351 \cnodeput*(3,6){2}{2}
 352 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
 353 \cnodeput*(0,3){4}{4}
 354 \cnodeput*(3,3){5}{5}
 355 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
 356 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
 357 \cnodeput*(3,0){8}{8}
 358
 359
 360 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
 361
 362 \ncline{->}{8}{6}
 363 \ncline{->}{8}{7}
 364 \ncline{->}{6}{4}
 365 \ncline{->}{6}{5}
 366 \ncline{->}{7}{5}
 367 \ncline{->}{4}{3}
 368 \ncline{->}{5}{3}
 369 \ncline{->}{3}{1}
 370 \ncline{->}{3}{2}
 371
 372
 373    }
 374  \endpspicture
 375
 376
 377 \end{center}
 378
 379 \{1,2,3\} est l'ensemble des majorants de $V$ . Vrai ou Faux?
 380
 381 Q. 69. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
 382 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 383
 384 Q. 70. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
 385 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 386
 387 Q. 71. $\leqslant$ est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{R}$.
 388 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 389
 390 Q. 72.
 391 Soit $t_1$ et $t_2$ deux termes exprimés dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$.
 392 Si $t_1 +  t_2 = 1$ alors $t_1$ = 1  et $t_2$ a une valeur quelconque, et vice versa.
 393  L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 394
 395
 396 Q. 73. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective.
 397 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 398
 399 Q. 74. On appelle élément maximum de $A$ un élément de $A$ qui est majorant de $A$.
 400 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 401
 402 Q. 75. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
 403 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 404
 405 Q. 76. Une application bijective est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 406
 407 Q. 77. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
 408 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 409
 410 Q. 78. Soit une relation d'ordre sur $E$, de graphe $G$. Cette relation d'ordre est dite totale si $\forall x,y \in E, (x,y)\in G$ ou $(y,x) \in G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 411
 412 Q. 79.
 413 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$.
 414 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
 415
 416 \begin{center}
 417 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
 418 \scalebox{1}{
 419 \cnodeput*(0,6){1}{1}
 420 \cnodeput*(3,6){2}{2}
 421 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
 422 \cnodeput*(0,3){4}{4}
 423 \cnodeput*(3,3){5}{5}
 424 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
 425 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
 426 \cnodeput*(3,0){8}{8}
 427
 428
 429 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
 430
 431 \ncline{->}{8}{6}
 432 \ncline{->}{8}{7}
 433 \ncline{->}{6}{4}
 434 \ncline{->}{6}{5}
 435 \ncline{->}{7}{5}
 436 \ncline{->}{4}{3}
 437 \ncline{->}{5}{3}
 438 \ncline{->}{3}{1}
 439 \ncline{->}{3}{2}
 440
 441
 442    }
 443  \endpspicture
 444
 445
 446 \end{center}
 447
 448 Les éléments 6 et 8 sont les minorants de $V$ . Vrai ou Faux?
 449
 450 Q. 80.
 451 Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$.
 452 $W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :
 453
 454 \begin{center}
 455 \pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
 456 \scalebox{1}{
 457 \cnodeput*(0,6){1}{1}
 458 \cnodeput*(3,6){2}{2}
 459 \cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
 460 \cnodeput*(0,3){4}{4}
 461 \cnodeput*(3,3){5}{5}
 462 \cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
 463 \cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
 464 \cnodeput*(3,0){8}{8}
 465
 466
 467 \psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)
 468
 469 \ncline{->}{8}{6}
 470 \ncline{->}{8}{7}
 471 \ncline{->}{6}{4}
 472 \ncline{->}{6}{5}
 473 \ncline{->}{7}{5}
 474 \ncline{->}{4}{3}
 475 \ncline{->}{5}{3}
 476 \ncline{->}{3}{1}
 477 \ncline{->}{3}{2}
 478
 479
 480    }
 481  \endpspicture
 482
 483
 484 \end{center}
 485
 486 L'élément 8 est le seul minorant de $V$ . Vrai ou Faux?
 487
 488 \end{document}